Question

對(duì)于函數(shù)f(x)=

1

ax-1

+

1

2

(a＞0，a≠1)．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）探究函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并給予證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，先求出f（x）的定義域，判斷可得其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)而將f（x）變形為f(x)=

(ax+1)

2(ax-1)

，求出f（-x）的解析式，即可得f（x）=-f（x），由奇函數(shù)的定義可得答案．
（2）設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，對(duì)f（x₁）、f（x₂）做差可得f(x1)-f(x2)=

ax2-ax1

(ax1-1)(ax2-1)

＜0，分0＜a＜1與a＞1兩種情況討論，判斷f（x₁）-f（x₂）的符號(hào)，可得f（x）在（0，+∞）的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，分析可得答案．

解答：解：（1）對(duì)于函數(shù)f(x)=

1

ax-1

+

1

2

(a＞0，a≠1)，
必有a^x-1≠0，解可得x≠0，
則函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
f（x）=

1

ax-1

+

1

2

=

ax+1

2(ax-1)

，則f(x)=

(ax+1)

2(ax-1)

，
又由f(-x)=-

(ax+1)

2(ax-1)

=-f(x)，
所以f（x）為奇函數(shù)，
（2）設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

ax2-ax1

(ax1-1)(ax2-1)

＜0，
因?yàn)?＜x₁＜x₂
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f(x1)-f(x2)=

ax2-ax1

(ax1-1)(ax2-1)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
②當(dāng)a＞1時(shí)，f(x1)-f(x2)=

ax2-ax1

(ax1-1)(ax2-1)

＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）；
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷，對(duì)于奇偶性首先應(yīng)該分析函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于單調(diào)性的判斷一般用作差法．