Question

已知函數(shù)

（Ⅰ）若試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若且對于任意恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)求證： .

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是；（Ⅱ）；（Ⅲ）見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于零解得單調(diào)增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于零得單調(diào)減區(qū)間；（Ⅱ）先可得知是偶函數(shù)，于是對任意成立等價于對任意成立，令導(dǎo)數(shù)等于零得，然后對在處斷開進行討論；（Ⅲ）先求得，并證明，然后列舉累乘即可證明.

試題解析：（Ⅰ）由得，所以．

由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，     3分

由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是．     4分

（Ⅱ）由可知是偶函數(shù)．

于是對任意成立等價于對任意成立．    5分

由得．                

①當(dāng)時，．此時在上單調(diào)遞增．故，符合題意．        6分

②當(dāng)時，．當(dāng)變化時的變化情況如下表：

	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由此可得，在上，．      8分

依題意，，又，所以．

綜合①，②得，實數(shù)的取值范圍是．      9分

(Ⅲ)，     10分

，

  12分

得，

故．           14分

考點：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、不等式證明.