Question

根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng),寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:

(1),,,,…;

(2),2,,8,,…;

(3)7,77,777,…;

(4)0,3,8,15,24,…;

(5),,,,,…;

(6),-1,,-,,-,….

   

Answer 1

思路分析:分析各項(xiàng)的特點(diǎn),找出序號(hào)與項(xiàng)的聯(lián)系規(guī)律,歸納出結(jié)論,然后再進(jìn)行驗(yàn)算,從而得出通項(xiàng)公式.

    解:(1)注意前四項(xiàng)中有兩項(xiàng)的分子為4,不妨把分子統(tǒng)一為4,即為,,,,…,于是它們的分母相差3,因而有a_n=.

(2)類似(1)統(tǒng)一分母為2,則有,,,,,…,因而有a_n=.

(3)把各項(xiàng)除以7,得1,11,111,…,再乘以9,得9,99,999,….∴a_n=(10ⁿ-1).

(4)觀察數(shù)列遞增速度較快,有點(diǎn)像成平方地遞增,不妨用平方數(shù)列對(duì)照看一看,即1,2²,3²,4²,5²,…,很快發(fā)現(xiàn)a_n=n²-1.

(5)每一項(xiàng)的分子比分母少1,而分母組成數(shù)列2¹,2²,2³,2⁴,…,所以a_n=.

(6)偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)而奇數(shù)項(xiàng)為正,故通項(xiàng)公式必含因式(-1)ⁿ⁺¹,觀察各項(xiàng)絕對(duì)值組成的數(shù)列,從第3項(xiàng)到第6項(xiàng)可見(jiàn),分母分別由奇數(shù)7,9,11,13組成,而分子則是3²+1,4²+1,5²+1,6²+1,按照這樣的規(guī)律第1、2兩項(xiàng)可改寫為,-,所以a_n=(-1)ⁿ⁺¹.