Question

已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)焦點(diǎn)在軸上的橢圓C,其長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4,離心率為．
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)(0,1), 問(wèn)是否存在直線與橢圓交于兩點(diǎn),且？若存在,求出的取值范圍,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

(Ⅰ)  (Ⅱ) 存在這樣的直線,其斜率的取值范圍是

試題分析：(Ⅰ)由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為            1分
則由長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4,即2a=4,所以a=2．                 2分
又,所以,                       3分
又由于                          4分
所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為                   5分
(Ⅱ)假設(shè)存在這樣的直線,設(shè),的中點(diǎn)為
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824013212045677.png" style="vertical-align:middle;" />所以所以  ①
(i)其中若時(shí),則,顯然直線符合題意;
(ii)下面僅考慮情形:
由,得,
,得 ②            7分
則．               8分
代入①式得,即,解得               11分
代入②式得,得．
綜上(i)(ii)可知,存在這樣的直線,其斜率的取值范圍是          13分
點(diǎn)評(píng)：直線與橢圓相交時(shí)常將直線與橢圓聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理找到根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而將轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)表示，其中要注意條件不要忽略