Question

已知F是橢圓的右焦點(diǎn)，過F的弦AB滿足，則弦AB的中點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為（ ）
A．6
B．
C．3
D．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，設(shè)直線AB方程為y=k（x-4），與橢圓消去y得關(guān)于x的一元二次方程．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理得x₁+x₂=，x₁x₂=…①，再由，算出x₁+3x₂=16…②，聯(lián)解得到x₁+x₂=，得弦AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，再算出橢圓右準(zhǔn)線方程為x=，即可得出AB的中點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離．
解答：解：∵橢圓的右焦點(diǎn)為F（4，0）
∴設(shè)直線AB方程為y=k（x-4），
與橢圓消去y，得（9+25k²）x²-200k²x+400k²-225=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
可得x₁+x₂=，x₁x₂=…①
∵
∴4-x₁=3（x₂-4），可得x₁+3x₂=16…②
聯(lián)解①②，可得k=，x₁+x₂=
∴弦AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為
∵右準(zhǔn)線方程為x==，∴AB的中點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離為-=3，
故選：C
點(diǎn)評：本題給出橢圓的焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分成1：3的兩段，求弦的中點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離．著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的關(guān)系等知識，屬于中檔題．