Question

【題目】已知圓與圓 的公共點(diǎn)的軌跡為曲線，且曲線與軸的正半軸相交于點(diǎn)．若曲線上相異兩點(diǎn)滿足直線的斜率之積為．

（1）求的方程；

（2）證明直線恒過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析， ．

【解析】試題分析：（1）確定，可得曲線是長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦距的橢圓，即可求解橢圓的方程；（2）分類討論，設(shè)出直線的方程，代入橢圓的方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合直線的斜率之積為，即可證直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析：（1）設(shè)⊙，⊙的公共點(diǎn)為,

由已知得，，

故，因此曲線是長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦距的橢圓，

所以曲線；

（2）由曲線的方程得，上頂點(diǎn)，記，

若直線的斜率不存在，則直線的方程為，故，且，

因此，與已知不符，

因此直線AB的斜率存在，

設(shè)直線，代入橢圓： ①

因?yàn)橹本�與曲線有公共點(diǎn)，所以方程①有兩個(gè)非零不等實(shí)根，

故，

又， ，

由，得

即

所以

化簡(jiǎn)得： ，故或，結(jié)合知，

即直線恒過定點(diǎn)．