Question

【題目】如圖，已知△的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，其中，且，延長(zhǎng)線段到點(diǎn)，使得，.

（1）求證：是直角；

（2）求的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)正弦定理以及二倍角公式即可證明，

（2）如圖所示：過點(diǎn)C作CE⊥AC，根據(jù)平行線分線段成比例定理，設(shè)CE＝x，則AB＝5x，ADx，再根據(jù)勾股定理可得x的值，再由正弦定理，sinD，再根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系即可求出答案．

1）由正弦定理可得sinBcosB＝sinCcosC，

即sin2B＝sin2C，

∵b≠c，

∴2B+2C＝180°，

∴B+C＝90°，

∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°，

（2）如圖所示：過點(diǎn)C作CE⊥AC，

∵BC＝4，BC＝4CD，

∴CD＝1，BD＝5，

∵∠BAC＝90°，

∴CE∥AB，

∴，

設(shè)CE＝x，則AB＝5x，

∵∠CAD＝30°，

∴AE＝2x，ACx，

∴，

∴DEx，

∵AB2+AC2＝BC2，

∴25x2+3x2＝16，

解得x，

在△CED中，∠CED＝120°，CE，CD＝1，

由正弦定理可得，

即sinD，

cosD，

∴tanD．