Question

設，其中，且（為自然對數的底數）

（I）求與的關系；

（II）若在其定義域內為單調函數，求的取值范圍；

（III）證明：

    ① ；

    ② .

Answer 1

解：（I）由題意知，

又，

∴，

∴ ，即，

而，

∴ .   

（II）由（I）知，

，

令，要使在其定義域內為單調函數，只需在內滿足：或恒成立.

① 當時，，∵，∴，∴，

∴在內為單調遞減，故適合題意. 

② 當時，，其圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為， ∴.

只需，即時，，

∴在內為單調遞增，

故適合題意.      

③當時，，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為.

只需，即時在恒成立.

故適合題意. 

綜上可得，或. 

（III）證明：①即證明 ，

設，，

∴ 時，，∴ 為單調遞增函數；

時，，∴ 為單調遞減函數；

為的極大值點.
    ∴, 即∴ 

② 由（I）知，又，

設，則， ∴.

∵ ，   ∴

∴ ，

∴，

∴ 結論成立.