Question

己知函數(shù)f（x）=|x³+a|，a∈R在[-1，1]上的最大值為M（a），則函數(shù)g（x）=M（x）-|x²-1|的零點個數(shù)為（　�。�

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

分析：根據(jù)條件求出函數(shù)M（a）的表達式，然后由g（x）=0得M（x）=|x²-1|，利用數(shù)形結(jié)合即可得到 函數(shù)的零點個數(shù)．

解答：解：當(dāng)a=0時，f（x）=|x³+a|=|x³|為偶函數(shù)，此時最大值為M（a）=M（-1）=M（1），
當(dāng)a＞0時，函數(shù)在[-1，1]上的最大值為M（a）=f（1）=|1+a|=a+1，
當(dāng)a＜0時，函數(shù)在[-1，1]上的最大值為M（a）=f（-1）=|-1+a|=1-a，
即M（a）=

a+1，a≥0 1-a，a＜0

．
∴M（x）=

x+1，x≥0 1-x，x＜0

．
由g（x）=M（x）-|x²-1|=0得M（x）=|x²-1|，
令函數(shù)y=M（x），y=m（x）=|x²-1|，
作出兩個函數(shù)的圖象如圖：
則兩個圖象的交點個數(shù)有3個．
故函數(shù)g（x）=M（x）-|x²-1|的零點個數(shù)為3個．
故選：C．

點評：本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，根據(jù)條件求出M（a）的表達式是本題的難點．