Question

【題目】已知二次函數(shù)滿足以下兩個(gè)條件：①不等式的解集是②函數(shù)在上的最小值是3.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且.

（ⅰ）求證：數(shù)列為等比數(shù)列

（ⅱ）令，是否存在正實(shí)數(shù)，使不等式對于一切的恒成立？若存在，指出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（�。┳C明過程見解析；（ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)不等式的解集可知函數(shù)與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，0且開口向上，根據(jù)對稱軸判斷函數(shù)在上的最小值列出等式求解即可；（Ⅱ）（�。�點(diǎn)代入函數(shù)并整理得，同時(shí)取對數(shù)即可得證；（ⅱ）求出的通項(xiàng)公式代入不等式可得對于一切的恒成立，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出的最大值即可得解.

（Ⅰ）因?yàn)椴坏仁?/span>的解集是，

所以設(shè)，且函數(shù)的對稱軸為：，

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以最小值為，解得，

函數(shù)解析式為；

（Ⅱ）（ⅰ）證明：因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，

所以，則，，

因?yàn)?/span>，所以，

數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；

（ⅱ），要使不等式對于一切的恒成立，

則對于一切的恒成立，

所以對于一切的恒成立，

令，

令，則，()，，

所以當(dāng)時(shí)， 不等式對于一切的恒成立.