Question

如圖，已知在正方體ABCD- A₁B₁C₁D₁中，E為AB的中點(diǎn)。

（1）求直線B₁C與DE所成角的余弦值；
（2）求證：平面EB₁D⊥平面B₁CD；
（3）求二面角E-B₁C-D的余弦值。

Answer 1

解：（1）如圖，連接A，D，則由A1D∥B1C知，B1C與DE所成的角即為A1D與DE所成的角， 連接A1E，設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，則 ∴ ∴直線B1C與DE所成角的余弦值是。 （2）取B1C的中點(diǎn)F，B1D的中點(diǎn)G，連接BF，EG，GF ∵CD⊥平面BCC1B1，且BF平面BCC1B1， ∴CD⊥BF 又∵BF⊥B1C，CD∩B1C=C， ∴BF⊥平面B1CD 又∵ ∴ ∴四邊形BFGE是平行四邊形， ∴BF∥GE， ∴GE⊥平面B1CD ∵GE平面EB1D， ∴平面EB1D⊥平面B1CD。 （2）連接EF ∵CD⊥B1C，GF∥CD， ∴GF⊥B1C 又∵GE⊥平面B1CD， ∴EF⊥B1C， ∴∠EFG是二面角E-B1C-D的平面角， 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則在△EFC中， ∴ ∴二面角E-B1C-D的余弦值。