Question

已知f(x)=

ax

ax+ a

．
（1）求f（x）+f（1-x）及f(

1

10

)+f(

2

10

)+…+f(

9

10

)=？
（2）是否存在正整數(shù)a，使

a f(n)

f(1-n)

＞n2對一切n∈N都成立．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知中f(x)=

ax

ax+ a

，我們易根據(jù)指數(shù)的運算性質(zhì)對f（x）+f（1-x）進行化簡，進而求出f（x）+f（1-x）的值，然后利用倒序相加法，即可求出f(

1

10

)+f(

2

10

)+…+f(

9

10

)的值．
（2）根據(jù)（1）有結(jié)論，我們易將已知中的不等式進行化簡，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得到答案．

解答：解：（1）f(x)=

ax

ax+ a

∴f（x）+f（1-x）=

ax

ax+ a

+

a1-x

a(1-x)+ a

=1
∴2[f(

1

10

)+f(

2

10

)+…+f(

9

10

)]=9
∴f(

1

10

)+f(

2

10

)+…+f(

9

10

)=

9

2

（2）由（1）得
f（1-n）=1-f（n）=

a

an+ a

∴

a f(n)

f(1-n)

=

a • an an+ a

a  an+ a

=aⁿ
則原不等式可化為：aⁿ＞n²
∵當(dāng)a≥3時，aⁿ＞n²恒成立，
故存在正整數(shù)a≥3，使

a f(n)

f(1-n)

＞n2對一切n∈N都成立．

點評：本題考查的知識點是抽象函數(shù)及其應(yīng)用、指數(shù)的運算性質(zhì)，其中根據(jù)已知條件求出f（x）+f（1-x）=1是解答本題的關(guān)鍵．