Question

已知函數(shù)f(x)=

3-ax

a-1

(a≠1)．
（1）若a＜0，則f（x）的定義域為

[

3

a

，+∞)

；
（2）若f（x）在區(qū)間（0，1]上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為

（0，1）

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)使函數(shù)解析式有意義的原則，構造不等式，結合a＜0，解不等式，可又求出函數(shù)的定義域；
（2）根據(jù)一次函數(shù)單調(diào)性與一次項系數(shù)的關系，冪函數(shù)的單調(diào)性，復合函數(shù)的單調(diào)性及kf（x），當k為正時與f（x）單調(diào)性相同，當k為負時與f（x）單調(diào)性相反，分類討論可得f（x）在區(qū)間（0，1]上是增函數(shù)時，實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）要使函數(shù)f(x)=

3-ax

a-1

(a≠1)的解析式有意義
3-ax≥0，由a＜0
解得x≥

3

a

∴f（x）的定義域為[

3

a

，+∞)
（2）由（1）得：當a＜0時，y=

3-ax

為增函數(shù)，此時a-1＜0
此時f（x）在區(qū)間[

3

a

，+∞)為減函數(shù)，
則在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，不滿足條件；
當a=0時，f（x）=-

3

，此時函數(shù)不具單調(diào)性，不滿足條件；
當0＜a＜1時，y=

3-ax

為減函數(shù)，此時a-1＜0
此時f（x）在區(qū)間[

3

a

，+∞)為增函數(shù)，滿足條件；
當a＞1時，y=

3-ax

為減函數(shù)，此時a-1＞0
此時f（x）在區(qū)間[

3

a

，+∞)為減函數(shù)，不滿足條件；
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為（0，1）
故答案為：[

3

a

，+∞)，（0，1）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)的定義域及其求法，其中熟練掌握基本初等函數(shù)的單調(diào)性和復合函數(shù)單調(diào)性的確定方法是解答的關鍵．