Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ln（2ax+1）+ ﹣x2﹣2ax（a∈R）．
（1）若x=2為f（x）的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=﹣ 時(shí)，方程f（1﹣x）= 有實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解： =

因?yàn)閤=2為f（x）的極值點(diǎn)，所以f'（2）=0

即 ，解得a=0．

又當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）=x（x﹣2），從而x=2為f（x）的極值點(diǎn)成立

（2）解：因?yàn)閒（x）在區(qū)間[3，+∞）上為增函數(shù)，

所以 在區(qū)間[3，+∞）上恒成立．

①當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）=x（x﹣2）≥0在[3，+∞）上恒成立，所以f（x）在[3，+∞）上為增函數(shù)，故a=0符合題意．

②當(dāng)a≠0時(shí)，由函數(shù)f（x）的定義域可知，必須有2ax+1＞0對(duì)x≥3恒成立，故只能a＞0，

所以2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0對(duì)x∈[3，+∞）上恒成立．

令g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），其對(duì)稱軸為 ，

因?yàn)閍＞0所以 ，從而g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，

因?yàn)間（3）=﹣4a2+6a+1≥0，

解得 ．

因?yàn)閍＞0，所以 ．

由①可得，a=0時(shí)，符合題意；

綜上所述，a的取值范圍為[0， ]

（3）解：若 時(shí)，方程 x＞0 可化為， ．

問題轉(zhuǎn)化為b=xlnx﹣x（1﹣x）2+x（1﹣x）=xlnx+x2﹣x3在（0，+∞）上有解，

即求函數(shù)g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域

以下給出兩種求函數(shù)g（x）值域的方法：

方法1：因?yàn)間（x）=x（lnx+x﹣x2），令h（x）=lnx+x﹣x2（x＞0），

則 ，

所以當(dāng)0＜x＜1，h′（x）＞0，從而h（x）在（0，1）上為增函數(shù)，

當(dāng)x＞1，h′（x）＜0，從而h（x'）在（1，+∞上為減函數(shù)

因此h（x）≤h（1）=0．

而x＞1，故b=xh（x）≤0，

因此當(dāng)x=1時(shí)，b取得最大值0．

方法2：因?yàn)間（x）=x（lnx+x﹣x2），所以g'（x）=lnx+1+2x﹣3x2．

設(shè)p（x）=lnx+1+2x﹣3x2，則 ．

當(dāng) 時(shí)，p'（x）＞0，所以p（x）在 上單調(diào)遞增；

當(dāng) 時(shí)，p'（x）＜0，所以p（x）在 上單調(diào)遞減；

因?yàn)閜（1）=0，故必有 ，又 ，

因此必存在實(shí)數(shù) 使得g'（x0）=0，

∴當(dāng)0＜x＜x0時(shí)，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減；

當(dāng)x0＜x＜1，g′（x）＞0，所以，g（x）在（x0，1）上單調(diào)遞增；

又因?yàn)? ，

當(dāng)x→0時(shí)，lnx+ ＜0，則g（x）＜0，又g（1）=0．

因此當(dāng)x=1時(shí)，b取得最大值0

【解析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由x=2為f（x）的極值點(diǎn)，可得f'（2）=0，代入可求a（2）由題意可得 在區(qū)間[3，+∞）上恒成立，①當(dāng)a=0時(shí)，容易檢驗(yàn)是否符合題意，②當(dāng)a≠0時(shí)，由題意可得必須有2ax+1＞0對(duì)x≥3恒成立，則a＞0，從而2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0對(duì)x∈[3，+∞0上恒成立．考查函數(shù)g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求（3）由題意可得 ．問題轉(zhuǎn)化為b=xlnx﹣x（1﹣x）2+x（1﹣x）=xlnx+x2﹣x3在（0，+∞）上有解，即求函數(shù)g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域．方法1：構(gòu)造函數(shù)g（x）=x（lnx+x﹣x2），令h（x）=lnx+x﹣x2（x＞0），對(duì)函數(shù)h（x）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)h（x）的單調(diào)性，進(jìn)而可求方法2：對(duì)函數(shù)g（x）=x（lnx+x﹣x2）求導(dǎo)可得g'（x）=lnx+1+2x﹣3x2 ． 由導(dǎo)數(shù)知識(shí)研究函數(shù)p（x）=lnx+1+2x﹣3x2 ， 的單調(diào)性可求函數(shù)g（x）的零點(diǎn)，即g'（x0）=0，從而可得函數(shù)g（x）的單調(diào)性，結(jié)合 ，可知x→0時(shí)，lnx+ ＜0，則g（x）＜0，又g（1）=0可求b的最大值