Question

【題目】已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2，離心率為

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)M（2，0）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)．

①若B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是N，證明：直線AN恒過(guò)一定點(diǎn)；

②試求橢圓C上是否存在點(diǎn)P，使F1APB為平行四邊形？若存在，求出F1APB的面積，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）定點(diǎn)；（2）

【解析】試題分析：(1)由短軸長(zhǎng)和離心率可以求得，從而得到橢圓的方程．（2）設(shè)出，則直線的方程為： ，利用在直線上，直線的方程又可以轉(zhuǎn)化為，聯(lián)立方程組并消去，利用韋達(dá)定理把直線的方程化簡(jiǎn)為，從而得到直線過(guò)定點(diǎn)．（3）中設(shè)出，因、互相平分，故可用表示，最后利用在橢圓上求出的大小，從而求出平行四邊形的面積．

解析：（1）∵橢圓的短軸長(zhǎng)為2，∴，解得，∵離心率為 ，∴ ，解得，∴橢圓的方程為．

（2）證明：①設(shè)過(guò)的直線，聯(lián)立，得，∵直線與橢圓交于兩點(diǎn)，∴，即 ．

設(shè)，則 ，∵ 點(diǎn)關(guān)于 軸的對(duì)稱點(diǎn)是 ，∴ ．設(shè)直線，∵滿足直線，∴

，∴直線 過(guò)定點(diǎn)．

（2）橢圓左焦點(diǎn) ，設(shè)的中點(diǎn)，則 ， ，假設(shè)存在點(diǎn)使為平行四邊形，則是 的中點(diǎn)，∴， ，即 ，∵在橢圓上，∴ ．整理得 ，解得 或（舍），此時(shí)，

左焦點(diǎn)直線的距離，∴平行四邊形的面積．