Question

（2013•嘉興一模）若

a

，

b

是兩個(gè)非零向量，且|

a

|=|

b

|=λ|

a

+

b

|，λ∈[

3

3

，1]，則

b

與

a

-

b

的夾角的取值范圍是

[

π

3

，

5π

6

）

．

Answer 1

分析：不妨設(shè)|

a

+

b

|=1，則|

a

|=|

b

|=λ．令

OA

=

a

，

OB

=

b

，以O(shè)A、OB為臨邊作平行四邊形OACB，則平行四邊形OACB
為菱形．故有∠OAB=∠OBA=θ，

b

與

a

-

b

的夾角，即

OB

與

BA

的夾角，等于π-θ，且0＜θ＜

π

2

．△OAC中，由
余弦定理解得 cos2θ=1-

1

2λ2

．再由

3

3

≤λ≤1求得cos2θ的范圍，從而求得θ的范圍，即可得到

b

與

a

-

b

的
夾角的取值范圍．

解答：解：∵|

a

|=|

b

|=λ|

a

+

b

|，λ∈[

3

3

，1]，
不妨設(shè)|

a

+

b

|=1，則|

a

|=|

b

|=λ．
令

OA

=

a

，

OB

=

b

，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，
則平行四邊形OACB為菱形．
故有△OAB為等腰三角形，故有∠OAB=∠OBA=θ，
且0＜θ＜

π

2

．
而由題意可得，

b

與

a

-

b

的夾角，即

OB

與 

BA

的夾角，
等于π-θ．
△OAC中，由余弦定理可得 OC²=1=OA²+AC²-2OA•AC•cos2θ=λ²+λ²-2•λ•λcos2θ，
解得 cos2θ=1-

1

2λ2

．
再由

3

3

≤λ≤1，可得

1

2

≤

1

2λ2

≤

3

2

，∴-

1

2

≤cos2θ≤

1

2

，∴

π

3

＜2θ≤

2π

3

，∴

π

6

＜θ≤

π

3

，
故

π

3

≤π-θ＜

5π

6

，即

b

與

a

-

b

的夾角π-θ的取值范圍是[

π

3

，

5π

6

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的加減法及其幾何意義，余弦定理以及不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．