Question

【題目】已知函數(shù)且．

當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）設(shè)是減函數(shù)，

又時(shí)，有意義

且

的取值范圍是

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù),滿(mǎn)足題設(shè)條件，在區(qū)間上單調(diào)遞減函數(shù)，且是減函數(shù)， 由已知即

但 這樣的實(shí)數(shù)不存在

【解析】

試題（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，可知且，時(shí)，顯然符合，時(shí)，由分離參數(shù)得，右邊函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，故；（2）假設(shè)存在符合題設(shè)條件的實(shí)數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，由（1）知，由的最大值為，與不符，故不存在.

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)，由函數(shù)恒有定義知恒成立，即，

∴，又且，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為；

（2）假設(shè)存在符合題設(shè)條件的實(shí)數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，且是減函數(shù)，

∴，又在上恒為正，則，故，由的最大值為，與不符，故不存在符合題設(shè)條件的實(shí)數(shù)．