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        1. (2012•上海模擬)如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,CC1=5,M為棱CC1上一點.
          (1)若C1M=
          32
          ,求異面直線A1M和C1D1所成角的正切值;
          (2)若C1M=1,試證明:BM⊥平面A1B1M.
          分析:(1)連接A1M、B1M,根據(jù)A1B1∥C1D1,得∠B1A1M或其補角即為異面直線A1M和C1D1所成角.Rt△A1B1M中,求出B1M的長,結合直角三角形中三角函數(shù)定義,算出tan∠B1A1M=
          5
          2
          ,即為異面直線A1M和C1D1所成角的正切值;
          (2)矩形BB1C1C中,根據(jù)Rt△B1C1M∽Rt△MCB,證出BM⊥B1M,再結合A1B1⊥BM和線面垂直的判定定理,即可得到BM⊥平面A1B1M.
          解答:解:(1)連接A1M、B1M
          ∵長方體ABCD-A1B1C1D1中,A1B1∥C1D1,
          ∴∠B1A1M或其補角即為異面直線A1M和C1D1所成角
          ∵A1B1⊥平面BB1C1C,B1M⊆平面BB1C1C,∴A1B1⊥B1M
          Rt△B1C1M中,B1M=
          B1C12+B1M2
          =
          5
          2

          ∴Rt△A1B1M中,tan∠B1A1M=
          B1M
          A 1B1
          =
          5
          2

          即異面直線A1M和C1D1所成角的正切值等于
          5
          2
          ;
          (2)∵Rt△B1C1M中,C1M=1,B1C1=2且Rt△BCM中,CM=4,BC=2
          BC
          C1M
          =
          CM
          B1C1
          =2
          ,結合∠MC1B1=∠BCM=90°
          ∴Rt△B1C1M∽Rt△MCB,可得∠BMC=∠MB1C1=90°-∠B1MC1
          ∴∠BMC+∠B1MC1=90°,得BM⊥B1M
          又∵A1B1⊥平面BB1C1C,BM⊆平面BB1C1C,∴A1B1⊥BM
          ∵A1B1、B1M是平面A1B1M內的相交直線
          ∴BM⊥平面A1B1M.
          點評:本題在長方體中求異面直線所成角的正切值,并且證明線面垂直,著重考查了長方體的性質、線面垂直的判定與性質和異面直線所成角的求法等知識,屬于中檔題.
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          2
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          [
          π
          6
          ,
          π
          2
          ]
          [
          π
          6
          ,
          π
          2
          ]

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