Question

【題目】已知拋物線：上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ） 已知直線不過點(diǎn)且與相交于，兩點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積為1，證明：過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】(Ⅰ)y2=x；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】試題分析：由題意求得，再根據(jù)拋物線的定義推導(dǎo)出，求得的值，代入即可求得的方程證法一：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程解出，代入求出結(jié)果；證法二：設(shè)

表示出，設(shè)：，聯(lián)立直線與拋物線方程得，，代入求出結(jié)果；證法三：設(shè)：，聯(lián)立直線與拋物線方程，代入，化簡(jiǎn)求出結(jié)果

解析：（Ⅰ）由題意，得，即.

由拋物線的定義，得.

由題意，.解得，或（舍去）.

所以的方程為.

（Ⅱ）證法一：設(shè)直線的斜率為（顯然），則直線的方程為，則.

由消去并整理得 .

設(shè)，由韋達(dá)定理，得，即.

.所以.

由題意，直線的斜率為.

同理可得，即.

若直線的斜率不存在，則.解得，或.

當(dāng)時(shí)，直線與直線的斜率均為，，兩點(diǎn)重合，與題意不符；

當(dāng)時(shí)，直線與直線的斜率均為，，兩點(diǎn)重合，與題意不符.

所以，直線的斜率必存在.

直線的方程為 ，即.

所以直線過定點(diǎn).

證法二：由（1），得.

若的斜率不存在，則與軸垂直.

設(shè)，則，.

則 .

（，否則，，則，或，直線過點(diǎn)，與題設(shè)條件矛盾）

由題意，，所以.這時(shí)，兩點(diǎn)重合，與題意不符.

所以的斜率必存在.

設(shè)的斜率為，顯然，設(shè)：，

由直線不過點(diǎn)，所以.

由消去并整理得.

由判別式，得.

設(shè)，，則①，②，

則 .

由題意，.

故 ③

將①②代入③式并化簡(jiǎn)整理得，即.

即，即.

又，即，所以，即.

所以：.顯然過定點(diǎn).

證法三：由（1），得.

設(shè)：，由直線不過點(diǎn)，所以.

由消去并整理得.

由題意，判別式.

設(shè)，，則①，②

則 .

由題意，，即③

將①②代入③式得，即.

所以：.顯然過定點(diǎn).