Question

【題目】已知正三棱錐每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，球心在正三棱錐的內(nèi)部．球的半徑為，且．若過作球的截面，所得圓周長(zhǎng)的最大值是，則該三棱錐的側(cè)面積為_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

依題意，該球的大圓的周長(zhǎng)為8π，可得R＝4， BC=6．設(shè)底面BCD的中心為E，連接BE并延長(zhǎng)交CD于F，求得BE，EF，在三角形OBE中應(yīng)用勾股定理得到OE．可得三棱錐的高AE＝AO+OE．所以由勾股定理得到三棱錐的斜高AF ．求側(cè)面積即可．

依題意，該球的大圓的周長(zhǎng)為8π，所以2πR＝8π，得R＝4，

如圖，正三棱錐A﹣BCD中，設(shè)底面三角形BCD的中心為E，則AE⊥平面BCD，

設(shè)F為CD的中點(diǎn)，連接BF，AF，則E是BF的三等分點(diǎn)，且AF是三棱錐的側(cè)面ACD的斜高．

根據(jù)正三棱錐的對(duì)稱性，球心O在AE上．

所以BC6．

則BE2．EF，

又因?yàn)槿�角�?/span>OBE為直角三角形，所以OE2．

所以三棱錐的高AE＝AO+OE＝4+2＝6．

所以三棱錐的斜高AF．

該三棱錐的側(cè)面積為S側(cè)＝339．

故填：．