Question

設(shè)P為曲線C：y=4lnx-

x2

4

上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處的切線的傾斜角的取值范圍為[0，

π

4

]，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為（　�。�

• A．(0，2

  2

  ]
• B．（0，+∞）
• C．[2，+∞）
• D．[2，2

  2

  ]

Answer 1

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，得到曲線C在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)，由切線傾斜角的范圍得到斜率范圍，然后得到關(guān)于點(diǎn)P橫坐標(biāo)的不等式，求解不等式得答案．

解答：解：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x₀（x₀＞0），
∵y′=

4

x

-

1

2

x，∴點(diǎn)P處的切線斜率為k=

4

x0

-

1

2

x₀，
由曲線C在點(diǎn)P處的切線的傾斜角的取值范圍為[0，

π

4

]，得
點(diǎn)P處的切線斜率為k=

4

x0

-

1

2

x₀∈[0，1]，即0≤

4

x0

-

1

2

x₀≤1，得2≤x₀≤2

2

．
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為[2，2

2

]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線在某點(diǎn)處的切線方程，曲線在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是過該點(diǎn)的切線的斜率，是中檔題．