Question

若α∈[0，π]，β∈[-

π

4

，

π

4

]，λ∈R，且（α-

π

2

）³-cosα-2λ=0，4β³+sinβcosβ+λ=0，則cos（

α

2

+β）的值為

2

2

．

Answer 1

分析：由題意可得-2β和α-

π

2

是方程 x³+sinx-2λ=0 的兩個實(shí)數(shù)解．再由

π

2

-α 和2β的范圍都是[-

π

2

，

π

2

]，方程 x³+sinx-2λ=0在[-

π

2

，

π

2

]上只有一個解，可得

π

2

-α=2β，即

α

2

+β=

π

4

，由此求得 cos（

α

2

+β）的值．

解答：解：∵4β³+sinβcosβ+λ=0，∴（-2β）³-2sinβcosβ-2λ=0，即  （-2β）³+sin（-2β ）-2λ=0．
再由 （α-

π

2

）³-cosα-2λ=0，可得 （α-

π

2

）³ +sin（α-

π

2

）-2λ=0．
故-2β和α-

π

2

是方程 x³+sinx-2λ=0 的兩個實(shí)數(shù)解．
再由α∈[0，π]，β∈[-

π

4

，

π

4

]，所以

π

2

-α 和2β的范圍都是[-

π

2

，

π

2

]，
由于函數(shù) x³+sinx 在[-

π

2

，

π

2

]上單調(diào)遞增，故方程 x³+sinx-2λ=0在[-

π

2

，

π

2

]上只有一個解，
所以，

π

2

-α=2β，∴

α

2

+β=

π

4

，∴cos（

α

2

+β）=

2

2

．
故答案為

2

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，式子的變形是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．