Question

已知定點(diǎn)A，B且AB=2a，如果動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離和到點(diǎn)B的距離之比為2：1，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明它表示什么曲線．

Answer 1

分析：先依據(jù)條件建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)P為（x，y），依據(jù)題中條件：“距離之比”列關(guān)于x，y的方程式，化諳即可得點(diǎn)P的軌跡方程．

解答：解：選取AB所在直線為橫軸，
從A到B為正方向，以AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，
過O作AB的垂線為縱軸，則A為（-a，0），
B為（a，0），設(shè)P為（x，y）
∵

PA

PB

=

2

1

，∴

(x+a)2+y2

(x-a)2+y2

=2．
∴（x+a）²+y²=4[（x-a）²+y²]，
∴3x²-10ax+3y²+3a²=0．
因?yàn)閤²，y²兩項(xiàng)的系數(shù)相等，且缺xy項(xiàng)，
所以軌跡的圖形是圓．

點(diǎn)評：求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系．直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程．