Question

已知函數(shù)f（x）=

2x

4x+1

．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）求證f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)；
（3）求f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

1+4x

=f（x），知函數(shù)f（x）=

2x

4x+1

是偶函數(shù)．
（2）利用定義法能夠證明f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)．
（3）由f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)，f（x）是偶函數(shù)，知f（x）_max=f（0），由此能求出結(jié)果．

解答：解：（1）∵f（x）=

2x

4x+1

，∴x∈R，
∵f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

1+4x

=f（x），
∴函數(shù)f（x）=

2x

4x+1

是偶函數(shù)．
（2）在[0，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂．
f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

2x1•4x2+2x1-2x2•4x1-2x2

(4x1+1)(4x2+1)

=

(2x1+2x2-22x1+x2)+(2x1-2x2)

(4x1+1)(4x2+1)

，
∵0≤x₁＜x₂．
∴

(2x1+2x2-22x1+x2)+(2x1-2x2)

(4x1+1)(4x2+1)

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)．
（3）∵f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)，f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，
∴f（x）_max=f（0）=

1

2

．

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查函數(shù)的最大值的求法，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．