Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，且公差d＞0，它的第2項、第5項、第14項分別是等比數(shù)列{b_n}的第2項、第3項、第4項．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}對n∈N^*均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=an+1成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₁的值；
（3）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項和S_n；并求滿足S_n＜168的最大正整數(shù)n．

Answer 1

（1）∵a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d）
∵d＞0
∴d=2
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1
∴b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，
故數(shù)列{b_n}的公比是3，
∴b_n=3•3^n-2=3^n-1
（2）由

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1
得當n≥2時，

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

=a_n
兩式相減得

cn

bn

=a_n+1-a_n=2，
∴c_n=2b_n=2×3^n-1（n≥2）
n=1時，c₁=3
∴c₁+c₂+…+c₂₀₁₁=3+2×3+2×3²+…+2×3²⁰¹¹=3²⁰¹¹
（3）S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=1+3×3+5×3²+…+（2n-1）×3^n-1 ①
∴3S_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-3）×3^n-1+（2n-1）3ⁿ ①
①-②得：-2S_n=-1+2（1+3+3²+3³+…+3^n-1）-（2n-1）×3ⁿ
∴S_n=1+（n-1）3ⁿ
∵S_n是遞增數(shù)列，且知S₃=55，S₄=244
∴滿足S_n＜168的最大正整數(shù)n=3．