Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，，，，，且在平面上的射影在線段上．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）設二面角為，求的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明線線垂直，一般利用線面垂直性質定理進行論證；因為在平面上的射影在線段上，所以，又根據勾股定理可得，因此（Ⅱ）求二面角，一般方法為利用空間向量，即先根據題意建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解出各面法向量，再根據向量數量積求法向量夾角，最后根據二面角與法向量之間相等或互補的關系求二面角

試題解析：（Ⅰ）證明：，，，

，

，．

（Ⅱ）解：（法一）作垂足為，連接，

則為二面角的平面角．

在中，，，，

，，，

在中，，，

，

，又，，又，，

．

（法二）在中，，，，

，，，

在中，，，

又，，又，，

如圖建立直角坐標系，

，，，，

平面的法向量為，

平面的法向量為，

．