Question

【題目】如圖，在四棱錐中， 為等邊三角形，平面平面， ， ， 為的中點.

（1）求二面角的正弦值；

（2）若平面，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】試題分析：

(1)由題意可知， ， ，據(jù)此建立空間直角坐標(biāo)系，計算可得平面的法向量為，且平面的一個法向量為，據(jù)此計算可得二面角的正弦值為.

(2)結(jié)合(1)中的空間直角坐標(biāo)系有，據(jù)此得到關(guān)于實數(shù)a的方程： ，解方程有： .

試題解析：

（1）因為是等邊三角形， 為的中點，所以，

又因為平面平面，平面平面，

平面，

所以平面，

又平面,所以，

取的中點，連結(jié)，

由題設(shè)知四邊形是等腰梯形，所以，

由平面，又平面，所以，

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則， ，

設(shè)平面的法向量為，

則 ,即

令，則，于是，

又平面的一個法向量為，設(shè)二面角為，

所以， ，

所以二面角的正弦值為.

（2）因為平面，所以，即，

因為，

所以，

由及，解得.