Question

已知函數(shù)y=log_a（3+2x-x²）．
（1）討論此函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當a=

1

2

時，求函數(shù)的值域．

Answer 1

分析：（1）由3+2x-x²＞0可得函數(shù)定義域：（-1，3），令t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4由函數(shù)t在（-1，1）上單調(diào)遞增，在（1，3）上單調(diào)遞減，分0＜a＜1，a＞1兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性
（2）由t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，x∈（-1，3）可得t∈（0，4]，當a=

1

2

時，結(jié)合復合函數(shù)的單調(diào)性可求函數(shù) 的值域

解答：（本題8分）
解：（1）由3+2x-x²＞0推出 定義域：（-1，3）（1分）
令t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4∴t在（-1，1）上單調(diào)遞增，在（1，3）上單調(diào)遞減
當0＜a＜1時，函數(shù)在（1，3）上單調(diào)遞增，在（-1，1）上單調(diào)遞減； （2分）
當a＞1時，函數(shù)在（-1，1）上單調(diào)遞增，在（1，3）上單調(diào)遞減．（2分）
（2）∵t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，x∈（-1，3）∴t∈（0，4]，（2分）
當a=

1

2

時，y∈[-2，+∞）（1分）

點評：本題主要考查了由對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)復合而成的復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解，注意對對數(shù)底數(shù)的討論，解答本題時容易漏掉對對數(shù)真數(shù)的考慮是解題中最易出現(xiàn)的錯誤