Question

【題目】設函數(shù)，是函數(shù)的導數(shù).

（1）若，證明在區(qū)間上沒有零點；

（2）在上恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）先利用導數(shù)的四則運算法則和導數(shù)公式求出，再由函數(shù)的導數(shù)可知，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，可知在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上沒有零點；

（2）由題意可將轉化為，構造函數(shù)，

利用導數(shù)討論研究其在上的單調(diào)性，由，即可求出的取值范圍．

（1）若，則，，

設，則，，

，故函數(shù)是奇函數(shù)．

當時，，，這時，

又函數(shù)是奇函數(shù)，所以當時，.

綜上，當時，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，函數(shù)單調(diào)遞減.

又，，

故在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上沒有零點.

（2），由，所以恒成立，

若，則，設，

.

故當時，，又，所以當時，，滿足題意；

當時，有，與條件矛盾，舍去；

當時，令，則，

又，故在區(qū)間上有無窮多個零點，

設最小的零點為，

則當時，，因此在上單調(diào)遞增.

，所以.

于是，當時，，得，與條件矛盾.

故的取值范圍是.