Question

在直三棱柱中，∠ACB=90°,Ｍ是 的中點，Ｎ是的中點。

（１）求證：MN∥平面 ；

（２）求點到平面BMC的距離；

（３）求二面角??₁的大小。

Answer 1

（1）見解析    （2）    （３） -arctan

解析:

（1）如圖所示，取B₁C₁中點D，連結(jié)ND、A₁D

     ∴DN∥BB₁∥AA₁

   又DN＝

     ∴四邊形A₁MND為平行四邊形。

     ∴MN∥A₁ D  又 MN 平面A₁B₁C₁   AD₁平面A₁B₁C₁

     ∴MN∥平面--------------------------4分

(2)因三棱柱為直三棱柱， ∴C₁ C ⊥BC，又∠ACB=90°

∴BC⊥平面A₁MC₁

在平面ACC₁ A₁中，過C₁作C₁H⊥CM，又BC⊥C₁H，故C₁H為C₁點到

平面BMC的距離。

在等腰三角形CMC₁中，C₁ C=2,CM=C₁M=

∴.--------------------------8分

(3)在平面ACC₁A₁上作CE⊥C₁M交C₁M于點E，A₁C₁于點F,則CE為BE在

平面ACC₁A₁上的射影，

∴BE⊥C₁M, ∴∠BEF為二面角B-C₁M-A的平面角,

在等腰三角形CMC₁中，CE=C₁H=,∴tan∠BEC=

∴∠BEC=arctan,∴∠BEF=-arctan

即二面角的大小為-arctan。--------------12分