Question

【題目】已知函數(shù)其中實數(shù)為常數(shù)且.

（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（II）若函數(shù)既有極大值，又有極小值，求實數(shù)的取值范圍及所有極值之和；

（III）在（II）的條件下，記分別為函數(shù)的極大值點和極小值點，

求證： .

Answer 1

【答案】(1) 見解析（II）,所有極值之和為 （III）見解析

【解析】試題分析：（1）利用導數(shù)并結(jié)合實數(shù)的不同取值求解單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）可知當時函數(shù)有極值，此時 ，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解；（3）將問題轉(zhuǎn)化為證明當時, 成立的問題，變形得即證，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明即可。

試題解析：(1) 函數(shù)的定義域為，

，

設(shè)

其中

①當時, ， ，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；

②當時, ，方程有兩個不等實根：

，且

由或

由

綜上所述，

當時, 的單調(diào)遞增區(qū)間為,無單調(diào)遞減區(qū)間；

當時， 的單調(diào)遞增區(qū)間為， ,單調(diào)遞減區(qū)間

（II）由（I）的解答過程可知，當時,函數(shù)沒有極值

當時，函數(shù)有極大值與極小值，

且

故實數(shù)的取值范圍為,所有極值之和為

（III）由（II）知，當,

, .

故原不等式等價于證明當時, ，

即證.

設(shè)函數(shù),則

當時， .

函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減,

由知,

∴

.即.

從而原不等式得證.