Question

（1）若等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=3•2ⁿ+a，求實數(shù)a的值；
（2）對于非常數(shù)列{a_n}有下面的結(jié)論：若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，則該數(shù)列的前n項和為S_n=Aa_n+B（A，B為常數(shù)）．判斷它的逆命題是真命題還是假命題，并說明理由．
（3）若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，則該數(shù)列的前n項和為Sn=

n(a1+an)

2

．對其逆命題進行研究，寫出你的結(jié)論，并說明理由．

Answer 1

（1）a₁=6+a，（1分）
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3•2ⁿ-3•2^n-1=3•2^n-1（2分），
因為數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，所以a₁滿足a_n的表達式，即6+a=3•2⁰，a=-3；（4分）
（2）逆命題：數(shù)列{a_n}是非常數(shù)數(shù)列，若其前n項和S_n=Aa_n+B（A，B為常數(shù)），則該數(shù)列是等比數(shù)列
判斷：是假命題． （7分）
直接舉反例，當(dāng)A=0，B≠0時，數(shù)列{a_n}為：B，0，0，0，
故其前n項和滿足S_n=Aa_n+B（A，B為常數(shù)），但不是等比數(shù)列；（10分）
（3）逆命題：若數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=

n(a1+an)

2

，則該數(shù)列是等差數(shù)列．
為真命題． （12分）
證明：n=3時，由2（a₁+a₂+a₃）=3a₁+3a₃?2a₂=a₁+a₃，命題成立，（13分）
假設(shè)n=k，（k≥3），Sk=

k(a1+ak)

2

時，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
當(dāng)n=k+1時，2（S_k+a_k+1）=（k+1）（a₁+a_k+1），設(shè)a_k=a₁+（k-1）d
則（k-1）a_k+1=（k-1）（a₁+kd）…（16分）a_k+1=a₁+kd，即當(dāng)n=k+1時，命題成立，（17分）
由數(shù)學(xué)歸納法可知，逆命題成立．（18分）