Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b²，分別在下列條件下求不等式f（x）＞0的解集為R的概率．
（1）a，b∈Z，且-2≤a≤4，-2≤b≤4；
（2）若a，b∈R，且0＜a≤2，0＜b≤2．

Answer 1

分析：（1）本小題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從兩個(gè)集合中各取一個(gè)數(shù)字，共有49種結(jié)果，滿足條件的事件是不等式f（x）＞0的解集為R，即a²＜4b²，列舉出所有的事件數(shù)，根據(jù)等可能事件的概率得到結(jié)果．
（2）本題是一個(gè)等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是在區(qū)間（0，2]上任取兩個(gè)數(shù)a和b，寫出事件對(duì)應(yīng)的集合，做出面積，滿足條件的事件是求不等式f（x）＞0的解集為R，根據(jù)二次方程的判別式寫出a，b要滿足的條件，寫出對(duì)應(yīng)的集合，做出面積，得到概率．

解答：解：（1）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，
試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從兩個(gè)集合中各取一個(gè)數(shù)字，共有49種結(jié)果，
滿足條件的事件是求不等式f（x）＞0的解集為R，
即a²＜4b²，
當(dāng)b=-2，2，3，4時(shí)，a有7種；
當(dāng)b=-1，1時(shí)，a有5種；
當(dāng)b=0時(shí)，a有1種；
共有39種結(jié)果，
∴所求的概率是

39

49

（2）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率，
∵試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是在區(qū)間[0，2]上任取兩個(gè)數(shù)a和b，
事件對(duì)應(yīng)的集合是Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤2}
對(duì)應(yīng)的面積是s_Ω=4
滿足條件的事件是關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集為R，
即a²-4b²≤0，
∴a≤2b，
事件對(duì)應(yīng)的集合是A={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤2，a≤2b}
對(duì)應(yīng)的圖形的面積是s_A=3
∴根據(jù)等可能事件的概率得到P=

3

4

故答案為：

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件的概率，考查一元二次方程的解，考查列舉法的應(yīng)用，是一個(gè)綜合題目，本題解題的關(guān)鍵是弄清楚一元二次方程解的情況．本題考查幾何概型，古典概型和幾何概型是我們學(xué)習(xí)的兩大概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù)，而不能列舉的就是幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長(zhǎng)度、面積、和體積、的比值得到．