Question

盒子中裝著有標(biāo)數(shù)字1，2，3，4，5的上卡片各2張，從盒子中任取3張卡片，按3張卡片上最大數(shù)字的8倍計(jì)分，每張卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3張卡片上的最大數(shù)字，求：
（1）取出的3張卡片上的數(shù)字互不相同的概率；
（2）隨機(jī)變量ξ的概率分布和數(shù)學(xué)期望；
（3）計(jì)分不小于20分的概率．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)“正難則反”的原則，記出事件：“一次取出的3張卡片上的數(shù)字互不相同的事件記為A”，“一次取出的3張卡片上有兩個(gè)數(shù)字相同”的事件記為B，看出兩個(gè)事件之間的互斥關(guān)系，得到結(jié)果．
（2）得到隨機(jī)變量ξ有可能的取值，計(jì)算出各值對(duì)應(yīng)的概率，列表寫出分布列，代入公式得到數(shù)學(xué)期望．
（3）記出事件“一次取卡片所得計(jì)分小于20分”的事件記為C，看出事件所包含的幾種情況，根據(jù)上面的分布列求和即可．

解答：解：（1）“一次取出的3張卡片上的數(shù)字互不相同”的事件記為A，“一次取出的3張卡片上有兩個(gè)數(shù)字相同”的事件記為B，則事件A和事件B是互斥事件，
因?yàn)?P(B)=

C 1 5 • C 2 2 • C 1 8

C 3 10

=

1

3

所以 P(A)=1-P(B)=1-

1

3

=

2

3

．
（2）由題意ξ有可能的取值為：2，3，4，5．
所以 P(ξ=2)=

C 2 2 • C 1 2 + C 1 2 • C 2 2

C 3 10

=

1

30

； P(ξ=3)=

C 2 4 • C 1 2 + C 1 4 • C 2 2

C 3 10

=

2

15

； P(ξ=4)=

C 2 6 • C 1 2 + C 1 6 • C 2 2

C 3 10

=

3

10

； P(ξ=5)=

C 2 8 • C 1 2 + C 1 8 • C 2 2

C 3 10

=

8

15

；
所以隨機(jī)變量ε的概率分布為

因此ε的數(shù)學(xué)期望為 Eε=2×

1

30

+3×

2

15

+4×

3

10

+5×

8

15

=

13

3

．
（3）“一次取卡片所得計(jì)分不小于20分”的事件記為C，則
P（C）=P（ε=3）+P（ε=4）+P（ε=5）=

2

15

+

3

10

+

8

15

=

29

30

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，以及等可能事件的概率．