Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)在上的最小值；

（2）若函數(shù)在與處的切線互相垂直，求的取值范圍；

（3）設(shè)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）

【解析】

（1）求導(dǎo)后可得函數(shù)的單調(diào)性，從而得到；（2）利用切線互相垂直可知，展開(kāi)整理后可知關(guān)于的方程有解，利用可得關(guān)于的不等式，解不等式求得結(jié)果；（3）根據(jù)極值點(diǎn)的定義可得：，，從而得到且，進(jìn)而得到，令，利用導(dǎo)數(shù)可證得，從而得到所求范圍.

（1）當(dāng)，時(shí)，，

則

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增

（2）由解析式得：

，

函數(shù)在與處的切線互相垂直

即：

展開(kāi)整理得：

則該關(guān)于的方程有解

整理得：，解得：或

（3）當(dāng)時(shí)，

是方程的兩根 ，

且， ，

令，則

在上單調(diào)遞增

即：