Question

【題目】已知函數(shù)， ，.

（Ⅰ）判斷直線能否與曲線相切，并說明理由；

（Ⅱ）若不等式有且僅有兩個(gè)整數(shù)解，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）假設(shè)直線與曲線相切，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，化簡可得，根據(jù)切點(diǎn)既在曲線上又在切線上化簡可得,

兩者聯(lián)立消去將題意轉(zhuǎn)化為,令,確定其在內(nèi)有零點(diǎn)即可；（Ⅱ）將轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性證明恒成立，分為， 不符合題意，當(dāng)時(shí)，只需滿足解出即可.

試題解析：（Ⅰ）假設(shè)存在這一的實(shí)數(shù)使得的圖象與相切，設(shè)切點(diǎn)為，

由可知，，即①

又函數(shù)的圖象過定點(diǎn)（1,0），因此，即②

聯(lián)立①、②消去有.

設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，

而，，，故存在，使得.

所以存在直線能與曲線相切.

（Ⅱ）由得.

令，則.

令，則，所以在上單調(diào)遞增，

又，，所以在上有唯一零點(diǎn)，，

此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

∴，

易證，.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

（1）若，則，此時(shí)有無窮多個(gè)整數(shù)解，不合題意；

（2）若，即，因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以時(shí)，，所以無整數(shù)解，不合題意；

（3）若，即，此時(shí)，故0,1是的兩個(gè)整數(shù)解，

又只有兩個(gè)整數(shù)解，因此，解得.

所以.