Question

（2011•浙江模擬）已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦點(diǎn)為F，P是第一象限C上的點(diǎn)，Q為第二象限C上的點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若

OF

+

OQ

=

OP

，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是（　�。�

• A．（1，+∞）
• B．（2，+∞）
• C．[2，2

  3

  )
• D．(

  3

  ，2)

Answer 1

分析：由題意可得OFPQ為平行四邊形，

OF

= 

QP

，設(shè)P（x₁，y₁），則Q（-x₁，y₁），得到c=2x₁，把點(diǎn)P代入雙曲線的方程可得 x₁²≥a²，即

c2

4

≥a²，由此求得離心率e的取值范圍．

解答：解：由題意可得OFPQ為平行四邊形，∴

OF

= 

QP

．
設(shè)P（x₁，y₁），則Q（-x₁，y₁），則 （c，0）=（2x₁，0 ），
∴把點(diǎn)P代入雙曲線的方程可得

x12

a2

=1+

y12

b2

≥1，∴x₁²≥a²，
故

c2

4

≥a²，∴(

c

a

)2≥4，∴

c

a

≥2． 
故離心率e的取值范圍是 （2，+∞）．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，得到 x₁²≥a²，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．