Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分別是CB、CD、CC₁的中點，
（1）求證：平面A B₁D₁∥平面EFG；
（2）求證：平面AA₁C⊥面EFG．
（3）求異面直線AC與A₁B所成的角．

Answer 1

分析：（1）連結(jié)C₁D，利用三角形中位線定理和正方體的性質(zhì)，證出FG∥AB₁，從而得出FG∥平面AB₁D₁，同理可得EF∥平面AB₁D₁，由面面平行判定定理可得平面A B₁D₁∥平面EFG；
（2）正方形ABCD中，證出EF⊥AC．利用線面垂直的定義，證出AA₁⊥EF，根據(jù)線面垂直判定定理得到EF⊥平面AA₁C，再由EF是平面EFG內(nèi)的直線，可得平面AA₁C⊥平面EFG；
（3）連結(jié)A₁B、D₁C，則A₁B∥D₁C，可得∠ACD₁為異面直線AC與A₁B所成的角．再在正△ACD₁算出∠ACD₁=60°，即得異面直線AC與A₁B所成角的大�。�

解答：解：（1）連結(jié)C₁D
∵△CC₁D中，F(xiàn)、G分別是CD、CC₁的中點，∴FG∥C₁D
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD

∥

.

B₁C₁，
∴四邊形AD

∥

.

B₁C₁是平行四邊形，可得AB₁∥C₁D
因此FG∥AB₁
∵FG?平面AB₁D₁，AB₁?平面AB₁D₁，∴FG∥平面AB₁D₁
同理可得EF∥平面AB₁D₁
∵FG、EF為平面EFG內(nèi)的相交直線，∴平面A B₁D₁∥平面EFG；
（2）∵EF∥BD，ABCD為正方形，得BD⊥AC
∴EF⊥AC，
又∵正方體中，AA₁⊥面ABCD，EF?面ABCD，∴AA₁⊥EF，
∵AA₁、AC是平面AA₁C內(nèi)的相交直線，
∴EF⊥平面AA₁C，
又∵EF?平面EFG，∴平面AA₁C⊥平面EFG．
（3）連結(jié)A₁B、D₁C，
∵在正方體中，A₁B∥D₁C，
∴∠ACD₁即為異面直線AC與A₁B所成的角；
∵△ACD₁的三邊長都等于正方體的面對角線長，
∴△ACD₁正三角形，得∠ACD₁=60°，即異面直線AC與A₁B所成的角為60°．

點評：本題在正方體中求異面直線所成角大小，并證明線面垂直和面面平行．著重考查了正方體的性質(zhì)、線面垂直的判定與性質(zhì)、面面平行與垂直的判定定理等知識，屬于中檔題．