Question

設(shè)拋物線y²=2x，
（1）設(shè)點(diǎn)A(

2

3

，0)，求拋物線上距A最近的點(diǎn)P的坐標(biāo)及相應(yīng)的距離|PA|；
（2）設(shè)A（a，0）（a∈R），求在拋物線上一點(diǎn)到點(diǎn)A距離的最小值d，并寫出函數(shù)式d=f（a）．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x，y）為拋物線上任一點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可得|PA|²=(x-

2

3

)²+y²利用x的范圍求得|PA|的范圍
（2）依題意可得）|PA|²=（x-a）²+y²=分析當(dāng)a-1≥0和a-1＜0時(shí)|PA|的最小值，進(jìn)而可求得d．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是拋物線y²=2x上任意一點(diǎn)，
∴|PA|2=(x-

2

3

)2+y2=x2-

4

3

x+

4

9

+2x=(x+

1

3

)2+

1

3

(x≥0)
當(dāng)x=0時(shí)，|PA|小=

2

3

，此時(shí)P（0，0）．
（2）設(shè)P（x，y）為y²=2x上任意一點(diǎn)，
∴|PA|²=（x-a）²+y²=x²-2ax+a²+2x=[x-（a-1）]²+2a-1（x≥0）
①當(dāng)a≥1時(shí)，x=a-1≥0，即a≥1處|PA|_小=

2a-1

②當(dāng)a＜1時(shí)，x=0，|PA|_小=|a|
綜上所述，d=

2a-1  (a≥1) |a|(a＜1)

點(diǎn)評：本題主要考查拋物線的性質(zhì)，綜合了函數(shù)的定義域和值域的問題，要注意對a的范圍進(jìn)行分類討論，屬于中檔題．