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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          已知橢圓C的中心為直角坐標系xOy的原點,焦點在x軸上,它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.
          (1)求橢圓C的方程;
          (2)若P為橢圓C上的動點,M為過P且垂直于x軸的直線上的點,
          |OP||OM|
          =λ,求點M的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線.
          分析:(1)設橢圓長半軸長及半焦距分別為a、c,由橢圓的性質可得
          a-c=1
          a+c=7
          從而解決.
          (2)設M(x,y),其中x∈[-4,4].由已知
          |OP|2
          |OM|2
          2及點P在橢圓C上,可得
          9x2+112
          16(x2+y2)
          2,整理得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112,其中x∈[-4,4].再按照圓、橢圓、雙曲線、拋物線的方程討論.
          解答:解:(1)設橢圓長半軸長及半焦距分別為a、c,
          由已知得
          a-c=1
          a+c=7
          ,解得a=4,c=3,
          所以橢圓C的方程為
          x2
          16
          +
          y2
          7
          =1.
          (2)設M(x,y),其中x∈[-4,4].
          由已知
          |OP|2
          |OM|2
          2及點P在橢圓C上,可得
          9x2+112
          16(x2+y2)
          2,
          整理得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112,其中x∈[-4,4].
          ①λ=
          3
          4
          時,化簡得9y2=112.
          所以點M的軌跡方程為y=±
          4
          7
          3
          (-4≤x≤4),軌跡是兩條平行于x軸的線段.
          ②λ≠
          3
          4
          時,方程變形為
          x2
          112
          16λ2-9
          +
          y2
          112
          16λ2
          =1,
          其中x∈[-4,4];
          當0<λ<
          3
          4
          時,點M的軌跡為中心在原點、實軸在y軸上的雙曲線滿足-4≤x≤4的部分;
          3
          4
          <λ<1時,點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓滿足-4≤x≤4的部分;
          當λ≥1時,點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓.
          點評:本題主要考查圓錐曲線的定義和性質及其方程.考查分類討論思想,是中檔題.
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