Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

4-x2

．
（Ⅰ）寫(xiě)出函數(shù)f（x）的定義域，并求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)曲線(xiàn)y=f（x）上的點(diǎn)P的切線(xiàn)l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S，求S的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根即被開(kāi)方數(shù)大于等于0，列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的取值范圍即為函數(shù)的定義域，然后求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的取值范圍即為函數(shù)的增區(qū)間；令導(dǎo)函數(shù)小于0列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)出切點(diǎn)P的坐標(biāo)，把橫坐標(biāo)代入到f（x）的導(dǎo)函數(shù)中求出對(duì)應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)值即為切線(xiàn)的斜率，根據(jù)設(shè)出的P的坐標(biāo)和求出的斜率寫(xiě)出切線(xiàn)l的方程，然后分別令x=0和y=0求出切線(xiàn)l與y軸和x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)與坐標(biāo)軸的截距表示出三角形AOB的面積，化簡(jiǎn)后利用基本不等式即可求出面積的最小值和此時(shí)P的坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域是[-2，2]．
函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f′(x)=

-x

2 4-x2

．
令f'（x）＞0，即

-x

2 4-x2

＞0，解得-2＜x＜0，所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（-2，0）；
令f'（x）＜0，即

-x

2 4-x2

＜0，解得0＜x＜2，所以函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間是（0，2）．
（Ⅱ）設(shè)P(x0，  

1

2

4-x02

)，則切線(xiàn)的斜率k=f′(x0)=

-x0

2 4-x02

，
則切線(xiàn)l的方程是y-

1

2

4-x02

=

-x0

2 4-x02

(x-x0)，
設(shè)切線(xiàn)l與x軸、y軸的交點(diǎn)為A、B，
令y=0，由題意可知x₀≠0，解得x=

4

x0

，所以A(

4

x0

，0)；
令x=0，解得y=

2

4-x02

，所以B(0，

2

4- x 2 0

)，
所以S△ABO=

1

2

|x||y|=

1

2

|

4

x0

|

2

4-x02

=

4

x02(4-x02)

≥

4

x02+4-x02 2

=2，
當(dāng)且僅當(dāng)x₀²=4-x₀²，即x0=±

2

時(shí)，△ABO面積的最小值為2．
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(±

2

，  

2

2

)．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會(huì)利用基本不等式求函數(shù)的最值并掌握最值的幾何意義，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線(xiàn)上過(guò)某點(diǎn)切線(xiàn)方程的斜率，是一道多知識(shí)的綜合題．