Question

已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=-1，?n∈N₊，a_n+1=2a_n+2．
（1）求證：{a_n+2}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=n•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義進行證明．（2）根據(jù)錯誤相減和分組求和的方法求數(shù)列的和．

解答：解：（1）（法一）依題意a_n+1+2=2a_n+2+2…（2分），a_n+1+2=2（a_n+2）…（3分），且a₁+2=1≠0…（4分），所以，{a_n+2}是等比數(shù)列…（5分）
（法二）設(shè)c_n=a_n+2…（1分），則a_n=c_n-2，a_n+1=c_n+1-2…（2分），
所以?n∈N₊，c_n+1-2=2（c_n-2）+2…（3分），c_n+1=2c_n，c₁=1≠0…（4分），
所以，{c_n}即{a_n+2}是等比數(shù)列…（5分）
（2）由（1）得an+2=2n-1…（6分），an=2n-1-2，bn=n•an=n•2n-1-2n…（7分），
設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，即Sn=(1×20-2×1)+(2×21-2×2)+(3×22-2×3)+…(n×2n-1-2n)
=[1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+（n-1）×2^n-2+n×2^n-1]-2×（1+2+3+…+n）…（9分）
其中2×(1+2+3+…+n)=2×

n(n+1)

2

=n(n+1)…（10分）
記Tn=1×20+2×21+3×22+…+(n-1)×2n-2+n×2n-1，
則2Tn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n…（11分），
兩式相減得Tn=-(20+21+22+…+2n-1)+n×2n=(n-1)•2n-1…（12分）
所以Sn=(n-1)•2n-n2-n+1…（13分）

點評：本題主要考查等比數(shù)列的定義的應(yīng)用以及利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和．考查學(xué)生的運算能力．