Question

【題目】已知函數(shù)（、為常數(shù)）.若函數(shù)與的圖象在處相切，

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù) ，若在上的最小值為，求實(shí)數(shù)的值;

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ).

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的圖象在處相切，所以即，求出值，即可求得的解析式；

（Ⅱ）化簡，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得是函數(shù)在上的極小值點(diǎn)，也就是它的最小值點(diǎn)，所以，從而可得結(jié)果；（Ⅲ）原不等式等價于恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得，故要使恒成立，只要即可.

試題解析：（Ⅰ）由已知得

函數(shù)的圖象在處相切，

所以即，

解得，

故

（Ⅱ）得，

當(dāng)時，，即在上為減函數(shù)；

當(dāng)時，，即在上為增函數(shù)；

所以是函數(shù)在上的極小值點(diǎn)，也就是它的最小值點(diǎn)，

因此的最小值為

∴

（Ⅲ）在

上恒成立，即對，恒成立，

令，則，

再令，則

故在上是減函數(shù)，于是，

從而所以在上是增函數(shù)，，

故要恒成立，只要，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.