Question

已知橢圓的長軸長是短軸長的兩倍，且過點(diǎn)C（2，1），點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D．
（I）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)P在橢圓E上，直線CP和DP的斜率都存在且不為0，試問直線CP和DP的斜率之積是否為定值？若是，求此定值；若不是，請說明理由：
（Ⅲ）平行于CD的直線l交橢圓E于M，N兩點(diǎn)，求△CMN面積的最大值，并求此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由橢圓長軸長是短軸長的兩倍設(shè)出橢圓的方程，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入橢圓方程可求解b，則橢圓的方程可求；
（Ⅱ）設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出直線CP和DP的斜率，由點(diǎn)P在橢圓上得到P點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的關(guān)系式，代入斜率乘積的表達(dá)式整理可得直線CP和DP的斜率之積為定值；
（Ⅲ）由直線l平行于CD，設(shè)出直線l的斜截式方程，和橢圓方程聯(lián)立后求出弦MN的長度，由點(diǎn)到直線的距離公式求出C到MN的距離，代入面積公式后利用基本不等式求最大值，并求出使面積最大時(shí)的直線l的方程．
解答：解：（Ⅰ）∵2a=2•2b，∴a=2b．
設(shè)橢圓方程為．
橢圓E過點(diǎn)C（2，1），
代入橢圓方程得，解得，則，
所以所求橢圓E的方程為；
（Ⅱ）依題意得D（-2，-1）在橢圓E上．
CP和DP的斜率K_CP和K_DP均存在．
設(shè)P（x，y），則，，
①
又∵點(diǎn)P在橢圓E上，
∴，∴x²=8-4y²，代入①得，
．
所以CP和DP的斜率K_CP和K_DP之積為定值
（Ⅲ）CD的斜率為，∵CD平行于直線l，∴設(shè)直線l的方程為．
由，
消去y，整理得x²+2tx+（2t²-4）=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由，得|MN|=
=．
．
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)t²=4-t²時(shí)取等號，即t²=2時(shí)取等號
所以△MNC面積的最大值為2．
此時(shí)直線l的方程
點(diǎn)評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了利用弦長公式求弦長，考查了利用基本不等式求最值，是有一定難度題目．