Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=2a_n-2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，c_n=

1

bnbn+1

，記數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，若對n∈N^*，T_n≤k（n+4）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)n=1時，a₁=S₁，解得a₁．當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，再利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）利用對數(shù)的運算性質(zhì)可得b_n，利用c_n=

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．利用“裂項求和”即可得出：數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=1-

1

n+1

．由于對n∈N^*，T_n≤k（n+4）恒成立，可得

n

n+1

≤k(n+4)，化為k≥

n

(n+1)(n+4)

=

1

n+ 4 n +5

，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，
化為a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是以2為公比的等比數(shù)列，
∴an=2n．
（2）∵b_n=log₂a_n=log22n=n，
∴c_n=

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
∵對n∈N^*，T_n≤k（n+4）恒成立，
∴

n

n+1

≤k(n+4)，化為k≥

n

(n+1)(n+4)

=

1

n+ 4 n +5

．
∵n+

4

n

+5≥2

n• 4 n

+5=9，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時取等號．
∴

1

n+ 4 n +5

≤

1

9

，
∴k≥

1

9

．
∴實數(shù)k的取值范圍是[

1

9

，+∞)．

點評：本題綜合考查了等比數(shù)列的通項公式、對數(shù)的運算性質(zhì)、“裂項求和”、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．