Question

已知直線l：y=kx+1與圓C：x²+y²-4x-6y+12=0相交于M，N兩點(diǎn)，
（1）求k的取值范圍；
（2）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且

OM

•

ON

=12，求k的值．

Answer 1

分析：（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d，由相切得到d等于圓的半徑r，根據(jù)圓的半徑等于1列出關(guān)于k的方程，求出k的值，然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系即可寫出直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)k的取值范圍；
②把直線l的方程與圓的方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，分別用坐標(biāo)表示出

OM

和

ON

，然后利用

OM

•

ON

=12列出關(guān)于k的方程，求出k的值即可．

解答：解：（1）當(dāng)直線l與圓相切時(shí)，圓心（2，3）到直線l的距離d=

|2k-2|

1+k2

=r=1，
化簡(jiǎn)得3k²-8k+3=0，解得：k=

4± 7

3

，
因?yàn)橹本�l與圓相交于M，N兩點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為：

4- 7

3

＜k＜

4+ 7

3

；
（2）把直線方程與圓方程聯(lián)立得

y=kx+1 (x-2)2+(y-3)2=1

，消去y得到（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁和x₂為（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0的兩個(gè)根，
則MN中點(diǎn)橫坐標(biāo)x₁+x₂=

4(1+k)

1+k2

，x₁x₂=

7

1+k2

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=

7

1+k2

+

12k2+4k+1

1+k2

=12，
即12k²+4k+8=12（1+k²），解得k=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了學(xué)生掌握直線與圓相切時(shí)滿足的條件，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式及韋達(dá)定理化簡(jiǎn)求值，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．