Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝x2＋2mx＋2lnx，m∈R．

（1）探究函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤2＋3x2在（0，＋∞）上恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）.

【解析】

（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）題中不等式等價(jià)于，，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得為的極小值點(diǎn)，即，從而可得結(jié)果.

（1）依題意，，，

若，則，故，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，令，解得；

若，則，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；

若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；

綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）題中不等式等價(jià)于，即，

因此，

設(shè)，

則，

，

當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增；

因此為的極小值點(diǎn)，

即，

故，

故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.