Question

  計算下列定積分

（1）x(x+1)dx;

(2) (e^2x+)dx;

(3) sin²xdx.

Answer 1

（1）（2）e⁴-e²+ln2（3）

解析:

  （1）∵x（x+1）=x²+x且(x³)′=x²,(x²)′=x,

∴x(x+1)dx=(x²+x)dx

=x²dx+xdx=x³|+x²|=(×2³-0)+(×2²-0)=.

(2)∵(lnx)′=,(e^2x)′=e^2x·(2x)′=2e^2x,

得e^2x=(e^2x)′

所以（e^2x+)dx=e^2xdx+dx=e^2x|+lnx|

=e⁴-e²+ln2-ln1=e⁴-e²+ln2.

(3)由(sin2x)′=cos2x·(2x)′=2cos2x,得

cos2x=（sin2x）′,

所以sin²xdx=（-cos2x）dx

=dx-cos2xdx

=x|-（sin2x）|

=（-0）-（sin2 -sin0）=.