Question

【題目】已知橢圓的長軸長為4，離心率為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過作動直線交橢圓于兩點，為平面上一點，直線的斜率分別為，且滿足，問點是否在某定直線上運動，若存在，求出該直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)長軸長為4，離心率為，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、即可得結(jié)果；（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線與橢圓交于，設(shè)，將代入，得，，得，結(jié)合韋達定理可得，從而可得結(jié)果.

（1）依題意，，而，

從而橢圓的方程為．

（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線與橢圓交于，

設(shè)，將代入，得，顯然．

，由已知條件，得，

即，將代入，整理得：

，而 ,所以，

即：，，

即．

當(dāng)直線的斜率不存在時，經(jīng)檢驗符合題意．

綜上，點的軌跡方程為：．