Question

已知F₁(-1，0)、F₂(1，0)，圓F₂：（x-1）²+y²=1，一動(dòng)圓在y軸右側(cè)與y軸相切，同時(shí)與圓F₂相外切，此動(dòng)圓的圓心軌跡為曲線C，曲線E是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C與曲線E相交于第一象限點(diǎn)P，且，求曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的條件下，直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)M在曲線C上，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓圓心的坐標(biāo)為（x，y）（x ＞0）               
因?yàn)閯?dòng)圓在y軸右側(cè)與y軸相切，同時(shí)與圓F₂相外切，所以，
∴，化簡(jiǎn)整理得y²=4x，
曲線C的方程為y²=4x（x ＞0）；
（Ⅱ）依題意，c=1，, 可得， 
∴,
又由橢圓定義得.   
∴b²=a²-c²=3，
所以曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（Ⅲ）設(shè)直線l與橢圓E交點(diǎn)，A,B的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，
將A,B的坐標(biāo)代入橢圓方程中，得
兩式相減得
∴，                                       
∵y₀²=4x₀，∴直線AB的斜率， 
由（Ⅱ）知，∴
∴
由題設(shè)，
∴， 
即.